住吉区東粉浜の完全１対１個別指導塾、学友ハイスクールです。
数Ⅲの極限、順調に進んでいますか？数列の極限、関数の極限と続いて、いよいよ「三角関数の極限」に突入した人も多いと思います。サインやコサインに \(lim\)が絡むと一見ややこしく見えますが、実はたった1つの「絶対的ボス」を攻略するだけで、ほとんどの問題が解けるようになります！
今日は、パズル感覚で解けるようになる基本の考え方をマスターしましょう。
絶対に覚えるべき「ボス」公式
三角関数の極限において、すべての中核となるのが次の公式です。
\(lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
（※ \(x\)の単位はラジアン）
これ以降に出会う様々な問題は、最終的に「いかにしてこの形を式の中に作り出すか」というゲームだと思ってください。
基本問題1：形をそろえるパズル
まずは超基本問題から見てみましょう。
【問題1】\(lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\) を求めよ。
【解説】 ポイントは「\(sin\) の中身と、分母の形を完全に一致させること」です。今は \(sin\)の中身が \(3x\) なのに、分母はただの \(x\)ですよね。だったら、無理やり合わせてあげましょう。
分母を \(3x\) にするために、分母と分子の両方に \(3\) を掛けます。
\(lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \times 3 \right)\)
形が揃ったので、前半の \( \frac{sin 3x}{3x}\)は「ボス公式」が発動して \(1\) になります。 よって、答えは \(1 \times 3 = 3\) です！
基本問題2：タンジェントはどうする？
続いてはこちらです。
【問題2】\(lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\) を求めよ。
【解説】 ボス公式には \(sin\)しかありません。では \(tan\)が出てきたらどうするか？答えはシンプルで、「\(sin\) と \(cos\) に直す」です。三角関数の相互関係 $\(tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) を使って式を変形してみましょう。
\(lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \right)\)
ここで、前半の \(\frac{\sin x}{x}\) は極限をとると \(1\) になりますね。後半は \(x \to 0\) のとき \(cos 0 = 1\) になるので、\(\frac{1}{1} = 1\) です。 よって、答えは \(1 \times 1 = 1\) となります。（この \(lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\) もよく使うので、準公式として覚えておくと便利です！）
式変形は「目的」を持って行おう
数学Ⅲの極限は、「とりあえず変形してみる」のではなく、「ボス公式の形を作りたい！」という明確なゴールを持って式をいじることが大切です。
ぜひお手元の問題集を開いて、「\(\frac{\sin \text{〇}}{\text{〇}}\)」を作る練習をどんどん積んでみてください。もし「\(1 – \cos x\) が出てきたらどうやって形を作るの？」と立ち止まってしまったら、いつでも質問してみてください。
入試に向けた実践的なテクニックを、1on1レッスンでわかりやすく伝授します。一緒に数Ⅲをマスターしていきましょう！教室でお待ちしています。
コメント